Yalnızca Ortalama Kitleden Daha Akıllı Olanların Anlayabileceği Paradoks: Sonsuz Odalı Otel
Bu sonsuzluk kavramı 1920’li yıllardan itibaren matematikçilerin bu konuyu daha anlaşılır bir şekilde açıklamalarına yol açmıştır. Bu çabalardan en etkili olanı Alman Matematikçi David Hilbert’inkiydi. “Sonsuz Otel Paradoksu” haline geldi.
Şimdi bir otel hayal edin. Bu otelin sonsuz odası olsun. “Böyle bir şey mümkün değil!” Bunu söylemeden önce biraz daha düşünmenizi istiyoruz. Üstelik bu sonsuz odaların her biri dolu. Şimdilik daha karmaşık göründüğünün farkındayız ancak daha detaylı incelediğimizde aklınıza geleceğinden eminiz.
Bir kişi, tüm odaları dolu olan bir otelden boş bir oda talep ederse ne olur?
Yeni bir misafire Neler yapılabileceğini düşündüğümüzde cevap çoğunuzun tahmin ettiği gibi olacaktır. Ancak bu otelin mantığı biraz farklı.
Otel odalarında her misafir kendi numarasının üstündeki odaya. Hareket etmek mümkündür. Yani 1. odadaki misafir 2. odaya taşınırsa 1. oda boş kalacak ve yeni misafire yer açılacaktır.
Peki soruyu biraz daha karmaşık hale getirelim. Bu otele 40 yolculu otobüs gelse koltuk nasıl ayarlanacak?
Pratik olarak oda 1’deki misafirden Sizden 2 numaralı odaya geçmeniz isteniyor., daha sonra 2 numaralı odadan 3 numaralı odaya vb.
Otelde sonsuz sayıda oda bulunduğundan her misafir için yeni bir oda bulmak mümkündür. Böyle devam eden bir döngüde 1 numaralı oda yeni misafir için boşalır.
Aslında mantık yine aynı.
Ancak bu kez misafirlerin kendi odalarında kalmalarına izin veriliyor. 40 numaranın üzerine taşınması gerekiyor.Yani 1. odadaki misafir 41. odaya taşınırsa, 2. odadaki misafirin 42. odaya taşınması gerekir.
Bu sayede ilk 40 oda boşaltılmış olacak. Durumu güzelce karmaşıklaştıralım, olur mu?
Otobüs hayal ettik, şimdi oldu “sonsuz” sayıda yolcusu olan bir otobüsteKarşılaşılırsa durum nasıl olacak?
Bu kez yeni gelenlerin sayısı belirsiz olduğundan ve iç içe geçmiş bir sonsuzluk durumu söz konusu olduğundan şu çözüme başvurulur: Her misafiri oda numarasının iki katı olan bir odaya yerleştirmek.
Kuyu 1 numaralı misafir 2 numaralı odaya geçer, 4 numaralı misafir 8 numaralı odaya geçer ve bu şekilde devam eder. Böylece sonsuzluk içinde başka bir sonsuzluğa yer açılır.
Yani otelde Çift numaralı odalar doluyken tek numaralı odalar boş kalır ve gelen misafirler bu odalara yerleşebilirler.Bu durumda otelin karı yine sabit kalır.
Mantığı bir kez daha zorlayacak olursak, sonsuz sayıda yolcusu olan sonsuz sayıda otobüs otelin önüne gelse ve otelde konaklamak isteseler yer ayarlanabilir mi?
Cevap başlangıçta düşündüğümüz gibi HAYIR olacak. Çünkü mantıksal olarak sonsuz olan bir şeye sonsuzluğu ekleyemeyiz gibi görünüyor.
Ancak oteldekiler bu duruma şu sözlerle karşılık verdi: “Matematikte sonsuz sayıda asal sayı vardır” mantığıyla çözüm buluyor.Peki böyle bir problemde bu kuralı nasıl uyguluyorlar?
Aslında otele yeni misafir yerleştirmeden önce otelin içinde bazı değişiklikler yapmaları gerekiyor. Bu değişiklik, oteldeki tüm müşterilerin asal sayıların en küçüğü 2 olduğundan oda numaralarını kullanmasını gerektirmektedir. 2’nin gücüneYer değiştiriyorlar.
Yani oda 1’deki müşteri 2¹’dir., 9 numaralı odadaki müşteri2⁹. odaya taşınıyor.Bu işlemle otelde boş odalar oluşur.
Birinci otobüse yolcuları asal sayı sistemine göre sırasıyla 3, ikinci otobüse 5 olarak yerleştiriyorlar.
Yani ilk otobüsteki ilk yolcu 3¹ numaralı odalara, ikinci yolcu ise 3² numaralı odalara yerleştirilir… Tıpkı işlemler gibi. Diğer asal numaralı otobüsler için de geçerlidirSonsuza kadar devam ediyor.
Bu sayede tüm müşteriler otele giriş yapar ve hiçbir oda numarası birbiriyle çelişmez. Çünkü asal sayıların yalnızca 1’e ve kendisine bölünebildiği bilinmektedir.Aslında otelde 6 veya 12 numaralı odalar gibi odalar asal sayıların üsleri olmadığı için boş bırakılıyor.
Peki asal sayıların kuvvetlerine eşit oda numaralarının her zaman boş olacağından nasıl emin olabiliriz?
Çünkü her pozitif tam sayı tek bir formda, asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. Bu durumda otelde bir oda numarası bir asal sayının üssü ise başka bir asal sayının üssüne eşit olamaz. Tek asal sayıların hiçbir kuvveti ikiye bölünemezve bu odalar boş kalıyor.
Hilbert aslında bu problem üzerinden bize sonsuzluğu anlatmıyor. Sonsuzluğu anlamak ne kadar zorbu kavramı benimsemenin doğru yolunu çeşitli örneklerle göstermektedir.
Sorunlarla ilgili diğer içeriğimiz:
